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Significado. Explicação e Diferença entre Variância da Amostra e Variância da População

A variância é uma medida de dispersão muito utilizada no mundo da estatística e acadêmico dos diversos setores do conhecimento humano. Ela é uma das ferramentas que mostra a dispersão de uma amostra, série ou população com relação a média destas.

Sendo a variância uma medida de dispersão ela necessita das informações fornecidas por uma medidas de posição central chamada de média aritmética como insumo para cálculo de nosso objeto de estudo neste texto.

Para obtermos a variância é é necessário calcular-se a média dos desvios quadrados de um dado da série em relação à média da série. A finalidade de se elevar ao quadrado é para evitar o sinal negativo que alguns desvios possuem.

Veja que a redação do parágrafo anterior deixa claro é a média obtida a partir da soma que é efetua considerando-se o resultado obtido pelas diferenças entre cada elemento da série e a média aritmética simples da série analisada.

No entanto conforme a espécie da série que usamos devemos observar duas fórmulas distintas para achar a variância que será pela população como também pela amostra, vejamos:
Variância da População

Em estatística utilizamos o conceito de população quando for possível observar toda uma série, ou melhor todos os dados ou elementos que compõem o universo que desejamos analisar. Vejamos a fórmula de variância a ser utilizada com populações:

variância população

 

Caso não esteja lembrando veja aqui como achar a média aritmética simples e devemos também ressaltar que o símbolo ∑ indica soma (somatório) de termos. No caso da fórmula de variância de população e também de amostra deveremos somar (Xi-X) que é a diferença de cada elemento da média aritmética simples da série (amostra ou população.

Vejamos um exemplo de calculo de variância de população. Suponhamos que um fundo de investimento de renda variável que possui um histórico de 5 anos de funcionamento sendo sua rentabilidade anual respectiva de: 20%, 21 %, 22%, 20% e 19%. Qual será a variância dessa população.
Para iniciar nosso cálculos devemos classificar se o problema nos deu amostra ou uma população, neste caso ele nos deu uma população já que iremos usar todo o histórico de rentabilidade, vejamos:

Média aritmética da população = (0,20+0,21+0,22+0,20+0,19)/5 = 0,204  => 20,4%

Xi     Desvio ( Xi – X) (Xi-X)^2
20% = 0,20 0,20 – 0,204 = -0,004 0,000016
21% = 0,21 0,21 – 0,204 = 0,006 0,000036
22% = 0,22 0,22 – 0,204 = 0,016 0,000256
20% = 0,20 0,20 – 0,204 = -0,004 0,000016
19% = 0,19 0,19 – 0,204 = -0,014 0,000196
Total 0,00052

σ² = 0,00052/5 = > 0,000104 (variância da população que é a dispersão da aplicação com relação a sua média simples)

Variância da Amostra

Outra espécie de fórmula utilizada para encontrar a variância aplica-se a uma certa série que trata-se de uma amostra de um conjunto maior. O conceito de amostra refere-se a parcela de uma população, que é muito grande, retirada de modo a representar a série maior.

Portanto a variância da amostra refere-se a parcela de dados retirados de um grande universo da qual desejamos obter informações e/ou conhecimento. Assim vamos a fórmula da variância da amostra:

variância da amostra

 

Para exemplo e variância de amostra suponhamos uma amostra aleatória de 5 elementos que são = 20,18,15,0,25. Imaginemos agora que seja a amostra de uma população então temos:

Xi ( Xi – X )  ( Xi - X )^2
20  20 – 15,6 = 4,4  19,36
18  18 – 15,6 = 5,76  5,76
15  15 – 15,6 = – 0,6  0,36
0  0 – 15,6 = -15,6  243,36
25  25 – 15,6 = 9,4  88,36
Média = 15,6  357,20

 σ²= 357,20/ (5-1) => 357,20/4 = 89,3

Diferença entre Variância de População e Variância de Amostra

Podemos ver pelas fórmulas que a diferença entre a variância da população e a variância da amostra fica no  denominador da fórmula. No caso da variância da população o único item no denominador é “n” já na variância da amostra a fórmula o denominador trata-se do “n-1”.

A maior razão para utilizar-se de amostras reside no fato delas permitirem realizar inferências sobre a população, sem a necessidade de se considerar todos os elementos de uma população, fato que se torna impossível por diversas vezes, por motivos técnicos ou econômicos.

Há milhares de estudos realizados que ratificam matematicamente que quando utilizamos a variância de uma amostra usando (n-1), a variância obtida será a melhor estimativa da variância da população. torna-se assim uma estimativa não tendenciosa e com menor erro médio.

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