Matemática Básica

Números primos: o que são e para quê servem ?

Os números primos são muito utilizados na matemática, principalmente quando tratamos de fatoração, decomposição por fatores primos e MMC/ MDC.

Por isso, preparamos esse texto explicativo para melhor compreensão desse assunto. Nele vamos ver o conceito de números primos, como identificá-los, qual sua real função, como é a decomposição por fatores primos, entre outros detalhes sobre esses números na matemática.

O que é um número primo?

O conceito de número primo pode se dar por:

  • Determinado número que possui somente dois divisores naturais diferentes: o número 1 e o próprio número.

Vejamos a seguir o conjunto de números naturais (N):

  • N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Considerando esse conjunto, vamos determinar os divisores de alguns números para compreendermos o que é um número primo.

  • Divisores de 1 = 1 (tem apenas 1 divisor, portanto, não é primo);
  • Divisores de 2 = 1 e 2 (dois divisores: 1 e ele mesmo, portanto, é primo);
  • Divisores de 3 = 1, 3 (dois divisores: 1 e ele mesmo, portanto, é primo);
  • Divisores de 4 = 1, 2, 4 (três divisores, portanto, não é primo);
  • Divisores 5 = 1, 5 (dois divisores: 1 e ele mesmo, portanto, é primo).

A partir desses exemplos, temos que a definição de um número primo é: um número que é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.

Como saber se um número é primo?

Como vimos, pode ser simples identificar números primos menores, como 3, 5 e 7. Porém, quando temos um número com valor mais alto, pode ser mais complicado saber se é mesmo um número primo ou não. Assim, vejamos um método para identificar com mais facilidade um número primo.

É importante considerar que um número natural é primo quando as divisões por números primos resultam em resto diferente de zero, isso, até o divisor ser maior ou igual ao quociente.

Sendo assim, na prática, dividimos o número em questão por fatores primos, considerando cada divisão. Para melhor compreensão, vejamos o exemplo:

Consideremos o número 49… Vamos dividi-lo por números primos, verificando se todos os resultados tem resto diferente de 1

49 em números primos

Agora, vamos considerar o número 53, realizando o mesmo processo…

53 em números primos.

Para quê números primos?

Na própria área da Matemática, os números primos são utilizados na fatoração, para encontrar o MMC ou MDC, por exemplo. Eles são utilizados justamente por possibilitar o menor múltiplo ou maior divisor dentre os números em questão.

Porém, além do básico na matemática, os números primos tomaram outras áreas e especializações. Eles são utilizados na eletrônica, música, arquitetura, tecnologia, além de ter grande importância na área de criptografia. Isso pois a codificação de sites, informações confidenciais, compras e serviços online, envolvem sempre uma codificação, a qual utiliza dos números primos para uma maior segurança.

Decomposição em fatores primos

A decomposição por fatores primos sustenta o fato de que qualquer número inteiro e positivo pode ser dividido completamente por um produto de números primos.

Dessa forma, podemos decompor um número composto (qualquer número que não seja primo) por fatores primos, de diferentes maneiras.

A primeira maneira é a decomposição básica do determinado número, transformando em um produto de apenas números primos. Vejamos o exemplo:

Podemos ainda decompor esse número pela técnica da barra. Essa é muito utilizada devido a sua praticidade. A técnica consiste em dividir o número apenas por fatores primos, até que o número seja dividido por completo. Assim, temos o produto dos números primos como resultado da decomposição. Vejamos a imagem para compreender melhor:

Quais são os primeiros 15 números primos naturais?

Agora que vimos definições e funções dos números primos, vamos a uma tabela dos 15 primeiros números primos naturais.

É importante lembrar que não é necessário decorar todos os números primos, ok? Mas é bastante útil saber pelo menos os primeiros números, como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, para facilitar as operações.

Números primos no MDC e MMC – Como funciona?

Como falado anteriormente, os números primos também são utilizados para encontrar o famoso MMC e MDC.

Tanto o MMC (menor múltiplo comum) quanto MDC (máximo divisor comum) utilizam números primos para realizar uma decomposição e, assim, encontrar o valor procurado.

Para isso, pode ser utilizada técnica da barra (como vimos anteriormente). Vejamos o exemplo:

  • Considerando os números 6, 32 e 48, vamos determinar o MMC e MDC desses números.

Exercício para compreensão

Qual a decomposição de fatores primos do número 240 ?

[latexpage]

a) $2^{4}\times 3\times 5$

b) $2^{2}\times 3\times 5$

c) $3^{2}\times 5$

d) $2\times 3\times 5$

Resposta: a

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