Duration de Macaulay entenda esse conceito

Sendo bem objetivo, o Duration de Macaulay é uma fórmula matemática utilizada para definir prazos (duração) dos pagamentos de títulos com cupons (pagamento de juros de tempos em tempos) seja cupom mensal, semestral ou anual. Por meio da Duration de Maculay, então poderemos definir o prazo de duração dos títulos que pagam cupom. Assim, a Duration utiliza em sua fórmula o fluxo de caixa de títulos que pagam cupom trazendo esses pagamentos para valor presente.

Um aspecto relevante na avaliação de um título de renda fixa é a distribuição dos fluxos de caixa no tempo. Ao adquirirmos um título com um único pagamento ao final do prazo (principal mais juros), a maturity da operação é representada efetivamente pelo prazo de vencimento do título, sendo denominado no mercado como zero cupom.

Então, título sem cupom possui duration igual ao prazo de vencimento do título. Como exemplo citamos a LFT negociada no tesouro direto que não possui cupom (zero cupom). Nesse caso a duration da LTF será o prazo de vencimento do título.

No entanto, para um título que paga rendimentos periódicos e resgata principal ao final, isto é, um título com cupom, parte do montante total prometido pelo título é desembolsado ao longo de sua duração, não refletindo sua efetiva maturidade o vencimento do mesmo. Assim, é necessário o cálculo de uma medida de duração representativa dos resultados de fluxo de caixa esperados do título.

Como exemplo, citamos a NTN-B que possui cupom semestral, neste caso teremos uma duration diferente do vencimento nominal do título já que recebemos alguns recursos de nossa aplicação de seis em seis meses.

Para entendermos melhor esse conceito vamos usar um exemplo um título pré-fixado com as seguintes características:

• Valor de face: R$ 1.000,00;
• Rendimento linear (juros simples) 10% ao ano;
• Cupom semestral de R$ 50,00 ;
• Vencimento: 3 anos.

O fluxo de caixa desse título é projetado da seguinte forma:

A duração efetiva desse fluxo, que tem parcelas intermediárias (cupom semestral), é aquela que o torna equivalente (indiferente) à opção de resgatar o investimento por meio de um único pagamento. Esses cálculos podem ser processados pela ponderação do valor presente para cada parcela com o respectivo prazo ou, de forma mais rigorosa, por meio do conceito de equivalência em matemática financeira. que mostramos como calcular na HP12C aqui e também a diferença entre taxa equivalente e proporcionais aqui.

A duração média dos fluxos de caixa dos resultados prometidos pelo título é determinada pela metodologia de duration de Macaulay, também chamada de Macaulay Duration.

• c = fluxo de recebimento do título (cupom semestral, anula, mensal, etc) é o equivalente ao PMT;
• t = tempo decorrido até a data do pagamento;
• n = maturidade total do título;
• YTM = yield to maturity, ou seja, taxa efetiva do retorno oferecido pelo título;
• P0 = preço de mercado do título descontado pela yield to maturity .É o valor presente do título descontado pela YTM informada ou obtida por meio do cálculo que você pode ver aqui. É apurado com a seguinte fórmula:

Vamos encontrar então a duration do exemplo anterior. Recapitulando: a característica do título é a seguinte:

• Valor de face: R$ 1.000,00;
• Rendimento linear (juros simples) 10% ao ano;
• Cupom semestral;
• Vencimento: 3 anos.

Perceba que o título tem um prazo de vencimento de 3 anos, ou seja, 6 semestres, no entanto quando calculamos o prazo médio de recebimento, isto é, a duration encontramos um prazo de 5,33 semestres.  Em resumo, a duration equivale ao tempo médio que um investidor tarda em receber seus fluxos de caixa. Quanto maior a duration, mais exposto se apresenta o título diante das mudanças nas taxas de juros.